Арифметическая прогрессия

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6 и т.д. Получим последовательность 2, 4, 6, … .

Очевидно, что на четвертом месте этой последовательности будет число 8, на десятом – число 20 и т.д. Вообще для любого номера n можно указать соответствующее ему положительное четное число, оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

.

Для любого номера n мы можем узнать соответствующую ему дробь; она равна .

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым и т.д. членами последовательности

. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, и т.д. (читают: “ первое, второе, третье ” и т.д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму последовательность будем обозначать так: ().

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае её называют конечной

. Примером конечной последовательности служит последовательность двухзначных чисел: 10; 11; 12; 13; .; 98; 99.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы, выражающей её n-й член как функцию номера n. Такую формулу называют формулой n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой , а последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, – формулой .

Пример 1. Пусть последовательность задана формулой . Вычислим первые пять её членов.

Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, получаем: ,

Пример 2. Пусть первый член последовательности () равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т.е.

С помощью формулы можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий и т.д. Получим последовательность 3, 9, 81, 6561, … .

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной

(от латинского слова recurro – возвращаться).

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21; … . Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Определение. Арифметической прогрессией

называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность () – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:

, (1)

где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство: .

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать первый её член и разность.

Приведем примеры.

Пример 1. Если и d = 1, то получим арифметическую прогрессию: 1; 2; 3; 4; 5; … , члены которой – последовательные натуральные числа.

Другие статьи:

Историко-педагогический анализ проблемы ученического коллектива
учащийся коллектив подростковый управление Понятие ученического и детского коллектива в педагогике сложились намного раньше понятия воспитательного коллектива. Отечественные педагоги конца 19 начала 20 века (П. Ф. Каптерев, А. Ф. Лазурский, Н. И. Пирогов, Л. Н. Толстой, К. Д. Ушинский) пристально вглядывалис ...

История возникновения идеи объединения мирового и европейского образования
70-80-е годы являются точкой отсчета структурного и содержательного преобразования высших школ западноевропейских стран. В настоящее время в большинстве этих стран функционирует многоуровневая система подготовки, введена система сопоставимых зачетных единиц (кредитов). Решена проблема взаимного признания ква ...

Главные разделы

• Главная
• Профессиональное самоопределение школьников
• Воспитание этнической толерантности в школе
• Понятие и технология обучения
• Образовательные технологии
• Оптимизация системы образования
• Изучение информационных технологий в школе
• Педагогика как наука