Арифметическая прогрессия

Страница 2

Пример 2. Если и d = 2, то получим арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7; 9; … , которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Пример 3. Если и , то заданная арифметическая прогрессия: – 2; – 4; 0; 8; 10; … является последовательностью отрицательных четных чисел.

Пример 4. Если и , то имеем арифметическую прогрессию: 7; 7; 7; … , все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Но для нахождения члена прогрессии с больший номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии

Точно так же находим, что , и вообще, чтобы найти нужно к

прибавить (n – 1)d, т. е.

(2)

Мы получили формулу n

-го члена арифметической прогрессии

. Докажем ее методом математической индукции.

1. При эта формула верна: .

2. Предположим, что формула (2) верна при , , т.е.

3. По определению арифметической прогрессии . Подставляя сюда выражение для k-го члена, получим , а это есть формула (2) при .

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) верна для любого натурального п.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример 1. Последовательность – арифметическая прогрессия, в которой и . Найдем десятый и сотый член этой прогрессии.

Имеем:

Пример 2. Выясним, является ли число 71 членом арифметической прогрессии : – 10; – 5,5; – 1; 3,5; . .

В данной арифметической прогрессии и , . Запишем формулу n-го члена прогрессии:

, т.е. .

Число 71

является членом арифметической прогрессии , если существует такое натуральное числи n, при котором значение выражения (4,5n – 14,5) равно 71. Решим уравнение 4,5n – 14,5 = 71.

Получим: 4,5n = 85,5, п=19.

Значит, число 71 является членом данной арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа.

Верно и обратное: последовательностъ , заданная формулой вида , где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n+1)-го и n-го членов последовательности :

Страницы: 1 2 3 4


Другие статьи:

Реализация требований программы в учебниках английского языка
Объектом нашего сопоставительного анализа стали три учебно-методических комплекса, рассчитанных на младших школьников. Это учебник И.Н. Верещагиной и Т.А. Притыкиной для II класса школ с углубленным изучением английского языка, лицеев, гимназий, а также 2 учебника англоязычных авторов – «Bravo» Джуди Вест и ...

Особенности проведения эксперимента в разделе «Растения»
Постановка учебных опытов по разделу «Растения» предусмотрены школьной программой. Эксперимент занимает в этом разделе значительное место – около трети уроков в целом или частично строится на материале опытов, описание которых дается в тексте школьного учебника или в заданиях к параграфу. Роль эксперимента в ...

Главные разделы

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.steppedagogy.ru