Арифметическая прогрессия

Пример 2. Если и d = 2, то получим арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7; 9; … , которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Пример 3. Если и , то заданная арифметическая прогрессия: – 2; – 4; 0; 8; 10; … является последовательностью отрицательных четных чисел.

Пример 4. Если и , то имеем арифметическую прогрессию: 7; 7; 7; … , все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Но для нахождения члена прогрессии с больший номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии

Точно так же находим, что , и вообще, чтобы найти нужно к

прибавить (n – 1)d, т. е.

(2)

Мы получили формулу n

-го члена арифметической прогрессии

. Докажем ее методом математической индукции.

1. При эта формула верна: .

2. Предположим, что формула (2) верна при , , т.е.

3. По определению арифметической прогрессии . Подставляя сюда выражение для k-го члена, получим , а это есть формула (2) при .

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) верна для любого натурального п.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример 1. Последовательность – арифметическая прогрессия, в которой и . Найдем десятый и сотый член этой прогрессии.

Имеем:

Пример 2. Выясним, является ли число 71 членом арифметической прогрессии : – 10; – 5,5; – 1; 3,5; . .

В данной арифметической прогрессии и , . Запишем формулу n-го члена прогрессии:

, т.е. .

Число 71

является членом арифметической прогрессии , если существует такое натуральное числи n, при котором значение выражения (4,5n – 14,5) равно 71. Решим уравнение 4,5n – 14,5 = 71.

Получим: 4,5n = 85,5, п=19.

Значит, число 71 является членом данной арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа.

Верно и обратное: последовательностъ , заданная формулой вида , где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n+1)-го и n-го членов последовательности :

Другие статьи:

Урок как целостная система
В условиях существующих организационных форм обучения применяется многообразный арсенал различных методических средств. От формы организации обучения во многом зависит выбор тех или иных источников, из которых учащиеся получают знания. Поэтому одной из важнейших задач методики является разработка форм органи ...

Совместная деятельность ДОУ с родителями по формированию здорового образа жизни детей
Проблема здоровья детей дошкольного возраста всегда находилась в центре внимания педагогов, интерес к ней не ослабевает и сегодня, поскольку изменение социальных условий привело не только к пересмотру, но и существенному расхождению взглядов различных социальных институтов на цели и содержание физического и ...

Главные разделы

• Главная
• Профессиональное самоопределение школьников
• Воспитание этнической толерантности в школе
• Понятие и технология обучения
• Образовательные технологии
• Оптимизация системы образования
• Изучение информационных технологий в школе
• Педагогика как наука