Арифметическая прогрессия

Страница 3

Значит, при любом n справедливо равенство , и по определению последовательность является арифметической прогрессией. Заметим, что разность этой прогрессии равна k.

Свойства арифметической прогрессии.

1. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при верной является формула

(3)

Действительно, при имеем и . Складывая почленно эти равенства, получим , откуда следует (3).

2. У конечной арифметической прогрессии сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е. для верной является формула

(4)

Действительно, в конечной арифметической прогрессии члены и равноотстоят от концов. По формуле (2) и Сумма этих членов равна и равна сумме крайних членов .

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить, эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором – в порядке убывания: S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100,

S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1.

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, в сумме дает 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:

Итак, 1+ 2 + 3 + …+ 99 + 100 = 5050.

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т.е. если , то

(5)

Действительно, если , то

.

Складывая почленно эти равенства и используя свойство 2, получаем , откуда следует формула (5) .

Приведем примеры.

Пример 1. Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 1; 3,5; . .

В данной арифметической прогрессии . По формуле n-го члена найдем двадцатый член прогрессии:

Теперь вычислим сумму первых двадцати членов:

.

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (5) вместо выражение получим: т.е.

(6)

Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (6), то вычисления будут выглядеть так:

.

Пример 2. Найдем сумму первых тридцати членов последовательности , заданной формулой .

Последовательность является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида , где k = 5 и .

Страницы: 1 2 3 4


Другие статьи:

Методы и приемы обучения правильному произношению звуков
Произношение звуков у детей дошкольного возраста зависит от работы их речедвигательного аппарата. Поэтому, формируя правильное звукопроизношение, необходимо постоянно упражнять отдельные органы речедвигательного аппарата, особенно мышцы губ, щек, языка; развивать подвижность челюсти. Педагогические приемы до ...

Игры-загадки, головоломки, кроссворды и ребусы − понятие, значение, особенности восприятия детьми старшего дошкольного возраста
Игры-загадки, головоломки, кроссворды и ребусы можно отнести к игровым и проблемно-поисковым методам обучения детей дошкольного возраста. Игровые методы и приемы направлены на повышение интереса, положительных эмоции, они помогают концентрировать внимание на учебной задаче, которая становится не навязанной и ...

Главные разделы

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.steppedagogy.ru