Геометрическая прогрессия

Педагогика как наука » Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся » Геометрическая прогрессия

Страница 4

Пример 3. Найдем сумму шести первым членов геометрической прогрессии , если известно, что и .

Зная и , можно найти знаменатель прогрессии q.

Так как то

Значит, или

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если , то и

Мы знаем, что число обращается в бесконечную десятичную периодическую дробь 0,3333 . .

Если по аналогии с конечной десятичной дробью разложить бесконечную десятичную дробь 0,3333… по разрядам, то получим сумму с бесконечным числом слагаемых: 0,03 + 0,003 + 0,0003 + . .

Слагаемые в этой сумме являются членами геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ., у которой .

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии имеем:

При неограниченном увеличении числа слагаемых n выражение становится сколь угодно близким к нулю, а значит, и вся дробь неограниченно приближается к нулю.

Действительно, если n = 2, то если n = 3, то если n = 4, то если n = 5, то и т.д.

Поэтому при неограниченном увеличении n разность становится сколь угодно близкой к числу или, как говорят, стремится к числу .

Таким образом, сумма n первых членов геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; . при неограниченном увеличении п стремится к числу . Это утверждение записывают в виде равенства

Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; . .

Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию у которой

Запишем формулу суммы п первых членов прогрессии:

Преобразуем выражение в правой части равенства:

Значит,

Можно доказать, что если , то при неограниченном увеличении п множитель стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и произведение . Поэтому при неограниченном увеличении п сумма

Страницы: 1 2 3 4 5

Другие статьи:

Возрастные особенности подросткового периода
Дети в возрасте 10-12 лет в основном уравновешены, им свойственно открытое и доверчивое отношение кo взрослым. Они ждут от учителей, родителей, других взрослых помощи и поддержки. Однако постепенно особую роль в их жизни начинает играть коллектив сверстников и складывающиеся в нем отношения. В этот период де ...

Способы включения младших школьников в деятельность по формированию представлений ЗОЖ
Изучая на уроках классного часа тему «Ритмы жизни», учащиеся знакомятся с ритмами рабочего дня. Дети вместе с учителем утверждают порядок и ритм каждого дня – режим дня. Для этого учащихся на одном из уроков приносят свои режимы дня, которые до урока предварительно составляют дома вместе с родителями. В тече ...

Геометрическая прогрессия

Главные разделы