Геометрическая прогрессия

Педагогика как наука » Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся » Геометрическая прогрессия

Страница 5

S, стремится к числу .

Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии

, у которой .

Это записывают так:

Обозначив сумму прогрессии буквой S, получим формулу

(9)

Заметим, что если то сумма п первых членов геометрической прогрессии Sn при неограниченной увеличении п не стремится ни к какому числу. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при .

Пример 1. Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии 12; – 4; ; ….

У этой прогрессии . Значит, условие выполняется.

По формуле (9) получим:

Пример 2. Дан квадрат, сторона которого равна 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Найдем сумму площадей всех квадратов.

Из геометрических соображений ясно, что площадь каждого следующего квадрата равна половине площади предыдущего. Таким образом, последовательность площадей квадратов является геометрической прогрессией, первый член которой равен 16, а знаменатель равен . Найдем сумму этой геометрической прогрессии:

Значит, сумма площадей всех квадратов равна 32 см2.

Пример 3. Представим бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.

Запишем число 0,(18) в виде суммы: .

Слагаемые в правой части равенства – члены геометрической прогрессии, у которой первый член равен 0,18, а знаменатель равен 0,01, т.е. . Найдем сумму этой прогрессии:

Значит,

Заметим, что аналогичным образом можно представить в виде обыкновенной дроби любую бесконечную десятичную периодическую дробь.

Страницы: 1 2 3 4 5

Другие статьи:

Анализ результатов исследования фонематического восприятия у детей с общим недоразвитием речи
По результатам первого этапа обследования выяснилось состояние слухового восприятия детей контрольной и экспериментальной групп (См. таблицу 1, рис. 1). Таблица 1. Анализ обследования слухового восприятия Состояние слухового восприятия Экспериментальная группа Контрольная группа человек % человек % Нарушено ...

Условия эффективности формирования музыкально-творческих способностей участников эстрадного коллектива
Молодежный возраст от 17 до 20 лет занимает важную фазу в общем процессе становления человека как личности, когда в процессе построения нового характера, структуры и состава деятельности подростка закладываются основы сознательного поведения, вырисовывается общая направленность в формировании нравственных пр ...

Геометрическая прогрессия

Главные разделы