Геометрическая прогрессия

Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:

.

Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим: .

Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:

, .

Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.

Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму n первых ее членов через :

(5)

Умножим обе части этого равенства на q:

Учитывая, что получим:

(6)

Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:

Пусть , тогда (7)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если , то все члены прогрессии равны первому члену и .

Заметим, что при решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо bn выражение . Получим:

если . (8)

Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой и .

Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то для решения задачи удобно воспользоваться формулой (8). Получим:

Пример 2. Найдем сумму , слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; x; ; … .

Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель ранен х. Так как является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы n первых её членов. Воспользуемся формулой (7):

Таким oбразом,

Умножим левую и правую части последнего равенства на . Получим тождество

В частности, при и приходим к известным формулам:

Другие статьи:

Политическая и социальная ситуация в Польше в начале XX века. Биография Януша Корчака
Во время начала Янушем Корчаком своей педагогической деятельность Польша переживала сложный политический период борьбы за независимость. Вот уже более 100 лет, после третьего раздела Польши в 1795 году, её территория была поделена между Россией, Пруссией и Австрией и Польша не существовала как самостоятельно ...

Общая характеристика технического творчества
В системе творчества можно выделить определенный круг объектов психологического изучения. Это проблема сущности творческой деятельности, ее специфики и особенностей проявления; проблема творческого процесса, его структуры, особенностей протекания; проблема творческой личности, особенностей ее формирования, п ...

Главные разделы

• Главная
• Профессиональное самоопределение школьников
• Воспитание этнической толерантности в школе
• Понятие и технология обучения
• Образовательные технологии
• Оптимизация системы образования
• Изучение информационных технологий в школе
• Педагогика как наука