Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:
.
Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим: .
Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:
,
.
Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.
Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму n первых ее членов через
:
(5)
Умножим обе части этого равенства на q:
Учитывая, что получим:
(6)
Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:
Пусть , тогда
(7)
Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если
, то все члены прогрессии равны первому члену и
.
Заметим, что при решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо bn выражение . Получим:
если
. (8)
Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой
и
.
Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то для решения задачи удобно воспользоваться формулой (8). Получим:
Пример 2. Найдем сумму
, слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; x;
; … .
Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель ранен х. Так как является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы n первых её членов. Воспользуемся формулой (7):
Таким oбразом,
Умножим левую и правую части последнего равенства на . Получим тождество
В частности, при и
приходим к известным формулам:
Другие статьи:
Методические рекомендации к изучению теоретического материала темы «Арифметическая
и геометрическая прогрессии»
Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько изолированной от остальных разделов, частью курса алгебры. Знакомство учащихся с прогрессиями происходит в курсе алгебры девятого класса в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». На эту тему по программе общеобразовательных классов отвод ...
Спецкурс "Учимся жить дружно"
В своем исследовании мы исходили из предположения, что для гармонизации отношений в классе, формирования благоприятного психологического климата целесообразно организовать спецкурс, который мы назвали "Учимся жить дружно". На занятиях учащиеся овладеют информацией об особенностях человеческого обще ...