Геометрическая прогрессия

Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:

.

Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим: .

Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:

, .

Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.

Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму n первых ее членов через :

(5)

Умножим обе части этого равенства на q:

Учитывая, что получим:

(6)

Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:

Пусть , тогда (7)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если , то все члены прогрессии равны первому члену и .

Заметим, что при решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо bn выражение . Получим:

если . (8)

Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой и .

Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то для решения задачи удобно воспользоваться формулой (8). Получим:

Пример 2. Найдем сумму , слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; x; ; … .

Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель ранен х. Так как является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы n первых её членов. Воспользуемся формулой (7):

Таким oбразом,

Умножим левую и правую части последнего равенства на . Получим тождество

В частности, при и приходим к известным формулам:

Другие статьи:

Сравнительные возможности методов обучения
Опираясь на общие принципы обучения, учитель должен иметь представление о том, когда рационально применять соответствующие методы обучения, то есть знать их сравнительные возможности. При выборе и сочетании методов обучения необходимо руководствоваться следующими критериями: 1. Соответствие методов принципам ...

Анализ психолого-педагогической литературы по проблеме взаимодействия ДОУ с семьей
Издавна ведется спор, что важнее в становлении личности: семья или общественное воспитание (детский сад, школа, другие образовательные учреждения). Одни великие педагоги склонялись в пользу семьи, другие отдавали пальму первенства общественным учреждениям. Так, Я. А. Коменский назвал материнской школой ту по ...

Главные разделы

• Главная
• Профессиональное самоопределение школьников
• Воспитание этнической толерантности в школе
• Понятие и технология обучения
• Образовательные технологии
• Оптимизация системы образования
• Изучение информационных технологий в школе
• Педагогика как наука