Геометрическая прогрессия

Страница 3

Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:

.

Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим: .

Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:

, .

Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.

Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму n первых ее членов через :

(5)

Умножим обе части этого равенства на q:

Учитывая, что получим:

(6)

Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:

Пусть , тогда (7)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если , то все члены прогрессии равны первому члену и .

Заметим, что при решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо bn выражение . Получим:

если . (8)

Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой и .

Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то для решения задачи удобно воспользоваться формулой (8). Получим:

Пример 2. Найдем сумму , слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; x; ; … .

Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель ранен х. Так как является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы n первых её членов. Воспользуемся формулой (7):

Таким oбразом,

Умножим левую и правую части последнего равенства на . Получим тождество

В частности, при и приходим к известным формулам:

Страницы: 1 2 3 4 5


Другие статьи:

Методические рекомендации к изучению теоретического материала темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько изолированной от остальных разделов, частью курса алгебры. Знакомство учащихся с прогрессиями происходит в курсе алгебры девятого класса в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». На эту тему по программе общеобразовательных классов отвод ...

Спецкурс "Учимся жить дружно"
В своем исследовании мы исходили из предположения, что для гармонизации отношений в классе, формирования благоприятного психологического климата целесообразно организовать спецкурс, который мы назвали "Учимся жить дружно". На занятиях учащиеся овладеют информацией об особенностях человеческого обще ...

Главные разделы

Copyright © 2025 - All Rights Reserved - www.steppedagogy.ru