Геометрическая прогрессия

Педагогика как наука » Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся » Геометрическая прогрессия

Страница 2

Пример 2. Найдем восьмой член геометрической прогрессии ,

если и .

Зная первый и третий члены геометрической прогрессии, можно найти ее знаменатель. Так как ,то

Решив уравнение найдем, что или .

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если , то

Задача имеет два решения: или .

Пример 3. После каждого, движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было 750 мм рт. ст.

Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8.

Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде ( в мм рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно .

Произведя вычисления, получим: (мм рт. ст.).

Свойства геометрической прогрессии.

1. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних членов, то есть при верной является формула

. (3)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то это свойство формулируется так: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т.е. .

Действительно, при имеем и . Перемножая почленно эти равенства, получим . А это и есть равенство (3).

2. У конечной геометрической прогрессии произведение членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов, т.е.

(4)

Действительно, в конечной геометрической прогрессии члены и равноотстоят от концов. По формуле (2) и . Произведение этих членов и равно произведению крайних членов . Значит, . А это и есть равенство (4).

Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью – еще в два раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Страницы: 1 2 3 4 5

Другие статьи:

Значение ознакомления дошкольников с животным миром для развития эмпатии
Экологическое образование и воспитание, направленное на формирование у человека научного познания природы, убеждений и практических навыков, определённой ориентации и активной жизненной позиции в области охраны природы, рационального использования и воспроизводства природных ресурсов является объективной нео ...

Анализ программ по подготовке старшеклассников к семейной жизни
Анализ программы «Маленькая мама» позволяет выделить ряд противоречивых и спорных моментов. Среди авторов программ преимущественно педагоги, врачи, реже - психологи и методисты. Социологи, демографы, специалисты по социальной работе и специалисты по планированию семьи в разработке программы не принимали учас ...

Геометрическая прогрессия

Главные разделы