Геометрическая прогрессия

Страница 1

Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2; ; ; ; … .

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Определение. Геометрической прогрессией

называется последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Иначе говоря, последовательность – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:

и , (1)

где q – некоторое число. Обозначим, например, через последовaтeльность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального n верно равенство ; здесь .

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любой натуральном n верно равенство:

Число q называют знаменателем геометрической

прогрессии

.

Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель.

Приведем примеры.

Пример 1. Если и q= 0,1, то получим геометрическую прогрессию: 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;

Пример 2. Условиями и q = 3 задается геометрическая прогрессия – 2; – 6; ; – 54; – 162; . .

Пример 3. Если и , то имеем прогрессию: 4; – 12; 36; – 103; 324; … .

Пример 4. Если и q = 1, то получим геометрическую прогрессию 8; 8; 8; … .

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий, а также любой её член:

Точно так же находим, что и т. д. Вообще, чтобы найти , мы должны b1 умножить на , т. е.

(2)

Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.

1. Формула (2), очевидно, верна при .

2. Предположим, что она верна и при , т.е.

3. Из (1) следует , то есть формула (2) верна и при .

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива для любого натурального п.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример 1. В геометрической прогрессии и . Найдем .

По формуле n -го члена геометрической прогрессии

Страницы: 1 2 3 4 5


Другие статьи:

Сущность и общая структура педагогической культуры
Понятие педагогическая культура ново. Его категориальная разработка началась совсем недавно. Педагогическая культура представляет собой интегративную характеристику педагогического процесса в единстве его объекта, субъекта, содержания, механизма, системы и целей. Культура это освоенный и овеществленный опыт ...

Особенности работы логопеда по развитию мелкой моторики у детей – логопатов
Для детей - логопатов дошкольный возраст оказывается началом развития перцептивного действия. На основе проснувшегося у ребенка интереса к предметам, к игрушкам возникает и ознакомление с их свойствами и отношениями. Пятый год жизни становится переломным в развитии восприятия детей. Однако, те проблемы, кото ...

Главные разделы

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.steppedagogy.ru