Внеклассная работа по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Факультативное занятие №2. Старинные задачи по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Старинные задачи способствуют развитию интереса учащихся к прогрессиям, а также позволяют разнообразить перечень задач, предлагаемых для решения школьникам, в итоге активизировав их познавательную деятельность.

Задача 1. Древнейшая задача на прогрессии – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце 19 века, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, возможно, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая:

Сто мер хлеба необходимо разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение. Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность у. Тогда доля первого – х, второго – (х+у), третьего – (х+2у), четвертого – (х+3у), пятого – (х+4у).

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

После упрощений первое уравнение получает вид х+2у=20, а второе: 11х=2у. Решив эту систему, получаем: , .

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части: , ,

Ответ: .

Задача 2. В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

Решение. Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+16+2,5+16+2,5+14=65(м.). При поливке второй он проходит 14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70(м.).

Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию: 65; 70; 75; …; 65+5×29.

Сумма её членов равна (м.).

Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

Ответ: 4,125 км.

Задача 3. Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и еще пол-яблока, третьему – половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось.

Другие статьи:

Психолого-педагогические основы формирования познавательного интереса
Среди многих проблем, направленных на совершенствование процесса обучения, проблема формирования познавательных интересов является довольно значимой. Она служит отысканию таких путей обучения, которые привлекали бы к себе учащихся. Интерес приводит в активное состояние как внешние, так и внутренние силы учеб ...

Понятие любви к ребёнку и её значимости в воспитательном процессе в произведении «Как любить ребёнка»
Трудно проводить анализ произведений Януша Корчака, будучи зажатым в рамки требований написания исследовательской работы. Трудно потому, что тот, кто прочёл хотя бы несколько работ этого особенного автора, не мог не заразиться его вольномыслием, его детской непосредственностью при выражении своих идей. Сразу ...

Главные разделы

• Главная
• Профессиональное самоопределение школьников
• Воспитание этнической толерантности в школе
• Понятие и технология обучения
• Образовательные технологии
• Оптимизация системы образования
• Изучение информационных технологий в школе
• Педагогика как наука